Skálavariációk Ib.

A skálavariációk matematikája

 

Bevezetés

A skálavariációk matematikája

Dupla

Dupla 2

Tripla

Tripla-sorozat

A-triola

V-triola

Quattro

Quattro-sorozat

Kvintola-sorozat

Szextola-sorozat

 

Bevezetés

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Fontos!

A skálavariációk az alapskálák (tágabb értelemben bármilyen skála) ritmikai, egyúttal dallamvariációit jelentik és az OSIRE nevű, saját gyártmányú skálarendszerező és variációs programmal együtt meg fogják adni a mesterszintű gitárjátékhoz szükséges tudás 70-80 százalékát. A Pénzes-féle módszertanból logikusan következik, hogy előbb-utóbb (technikailag) bármit képesek leszünk lejátszani, illetve ha ez nem sikerül, akkor nem lesz felróható a módszertan hibájának.

 

Én minden elém beülő tanítványnak elmondom a következőt:

 

"Gitároktatói véleményem szerint a skálavariációk a leghasznosabb zenei objektumok, ezen meggyőződésemen nem tudok és nem kívánok változtatni. Én nem ismerlek téged, ennek ellenére a szavamat adom arra, hogy ha végigcsinálod azt, amit feladok, akkor előbb-utóbb bármit lejátszol és nem maradnak sötét, lefedetlen zeneelméleti foltok a gitáron. Szerintem ez a kettő a legfontosabb, a többi részletkérdés. A skálavariációknak egyetlen hátránya ismert: rettentő unalmasak. Tehát elsősorban türelem és elszántság kell. Ha ezzel Te rendelkezel, akkor nyertél, ha nem, akkor hosszabb távon veszítettél, de lehet, hogy másban is..."

 

Nos, az eskü (és az őszinteség!) eléggé megfontolandó dolgok, ha nem ismerjük a másik felet, jelen esetben a tanítvány személyiségét. Ennek ellenére én felvállalom, mert gitároktatói "szent meggyőződéseim" egyike azon felismerés, hogy a skálavariációk megadják az áhított szólótechnikai tudás zömét. Ebből nem tudok engedni, mert látom pontosan az ellenkezőjét is: nevezetesen a skálavariációk hiányának következményeit. Ebben az esetben ugyanis lényegében nincs sem szólótechnikai, sem zeneelméleti fejlődés vagy csak nagyon hézagosan, vagy ami a legrosszabb: az hibákkal lesz teli.

 

A kezdetekkor, a skálavariációk módszertanának megírásakor (2004-2005) a képletek tisztán zeneiek voltak. Ez elég volt egy jó darabig, ám rendszerezésüknél már érezhetővé vált, hogy nincs bennük belső, logikai rendszer. Ehhez jött még egy fontos, alapjában véve matematikai felismerés: mi volna, ha egy képletből kihoznánk az összes lehetséges variációs mennyiséget? De ne szaladjunk annyira előre, előtte gondosan olvassuk el az alábbi rávezetést...

 

A skálavariációk matematikája

 

Mi lehet a legegyszerűbb skálavariáció? Pengessünk a skálában minden hangot kétszer! Ez tehát az általam "dupla" névvel illetett képlet. Emlékeztetőül a már kigyakorolt F-dúr tükörkép:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - F-dúr tükörkép

 

Érdemes ezt pusztán kényelmi szempontok miatt G-dúrba transzponálni, azaz áthelyezni.

 

Pénzes-féle Gitáriskola - G-dúr tükörkép

 

Ekkor a skálaszerkezet értelemszerűen nem változik meg (mert a gitár, éppúgy, mint a zongora, temperált hangszer). Vegyük észre, hogy ezt a transzponálást az alapskálák előregyártott sablonjaiból adódóan rendkívül könnyen és kényelmesen tehetjük meg, ellentétben a zongorával, ahol bizony sokszor már más ujjrendet (és macerás fekete billentyűket) kell használnunk.

 

A fenti G-dúr tükörkép ötvonalas kottában...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - G-dúr tükörkép ötvonalas kottában

 

...és az OSIRE nevű skálarendszerező és variációs szoftverrel lejátszva (skálavariációs száma 0):

 

 

Dupla

Tehát pengessünk minden egyes skálahangot kétszer, a hangokat egymással összekötve, azaz legato.

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Fontos!

Alapozáskor nem a sebesség a lényeg, hanem a kidolgozottság!

Ügyeljünk a folyamatos, húrváltástól független fel-lepengetésre!

 

Egyébiránt a legato többféle értelemben is használatos. Egyfelől jelent egy sajátos, már haladószintű pengetési technikát, másfelől általánosabban nézve azt jelzi, hogy a hangokat szorosan egymás után szólaltassuk meg, azaz "amikor végződik az egyik, akkor kezdődik a másik". Ez általában probléma szokott lenni a kezdő tanítványoknál. (Erről részletesen írok a SZTEV XIV. - Néhány gondolat a legato-technikáról című fejezetben.)

 

Most nézzük meg a dupla skálavariációt kottába illesztve:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Dupla - kotta

 

 

Az első 16. G hang a ritmikába való belépést segíti, hiszen a fenti kottát a Finale Notepad, ingyenes kottaszerkesztő program képes lejátszani; a kotta a programból lett kimásolva. Egyúttal azt is észrevehetjük, hogy a kotta semmit nem mond nekünk a skála, vele a skálavariáció gitárcentrikus lejátszásáról. Ezt bizony nekünk kell kitalálni, ami egy kezdő tanítványnál egyenlő a lehetetlen kéréssel. Ezért lényeges a fenti tükörkép, hiszen az alapösvény éppen ez:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - G-dúr tükörkép

 

Van tehát már 1 db skálavariációnk. Mivel ezt mind a 7 alapskálában képesek vagyunk gyakorolni, hirtelen 1 x 7 = 7 gyakorlási lehetőségünk adódott.

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Fontos!

Vegyük észre, hogy a skálavariáció voltaképpen egy jellemző dallamképlet (egyfajta tömörítési algoritmus), amely végigvonul egy adott, voltaképpen bármilyen skálán.

 

Ebből következően nem is kell lekottázni az egészet, módszertanilag elég az önmagára jellemző képletet megjeleníteni. Ezt neveztem el 1 ciklusnak:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - 1 ciklus

 

Abban a pillanatban, hogy már nem hosszú kottában, hanem ciklusokban gondolkodunk, többféle felismerésre juthatunk:

  1. a dallamképletek (ciklusok) vizuálisan átláthatókká váltak és ezáltal jelentős mértékben könnyebbé vált katalogizálásuk, rendszerezésük,

  2. mivel rövid képletekkel dolgozunk együtt, könnyebb őket továbbgondolni, sőt bizonyos matematikai absztrakcióknak is alá lehet vetni.

A dupla skálavariáció voltaképpen 2 hang 1 hangmagasságon, ezért továbbvariálása nem lehetséges. A következő lépés csakis a 2 hang 2 hangmagasságon történő variációja lehet. Először vázoljuk fel őket matematikailag...

  1. 00

  2. 01

  3. 10

  4. 11

...majd tükörképszerű ábrázolásban:

  1. Pénzes-féle Gitáriskola - 00

  2. Pénzes-féle Gitáriskola - 01

  3. Pénzes-féle Gitáriskola - 10

  4. Pénzes-féle Gitáriskola - 11

A lehetséges variációs összmennyiség kombinatorikai képlet, annak ismétléses variáció-sorozata. Általános megoldása:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Ismétléses variáció képlete

 

Mivel 2 hangot 2 hangmagasságban variáltunk úgy, hogy a hangok ismétlődése megengedett volt, a képlet alapján a 22 számítással 4 a végeredmény. Most nézzük meg, hogy miként tudjuk ezen felismeréseket kamatoztatni a Pénzes-féle módszertanban!

A fenti egyetlen ötletből lett tehát 3 db skálavariációnk. Ez 3 x 7 = 21 olyan gyakorlási lehetőséget jelent, amit bármikor tovább tudunk gondolni és logikus módszertani egységet alkot. Tud még a Tisztelt Olvasó követni?

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Előre a forradalmian új felismerésekig!

Előre a forradalmian új felismerésekig!

 

Dupla 2

Bár lényegtelen kottában ábrázolni, de megmutatom a 2. skálavariációt is (01) G-dúr alapskálában:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Dupla 2 - kotta

 

 

Észrevehetjük benne a folyamatosan ismétlődő ciklust...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Észrevehetjük benne a folyamatosan ismétlődő ciklust...

 

...amely végigvonul a kiválasztott skálán. Mi lehet a következő lépés? Természetesen 3 hang. A tripla skálavariáció után (000)...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - A tripla skálavariáció ciklusa

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Tripla - kotta

 

 

...hamar elérkezünk a 3 hang 2 hangmagasságban való variálásához. A képlet szerint 23 = 8 lehetőségünk van (tripla-sorozat):

  1. 000 (tripla)

  2. 001

  3. 010

  4. 100

  5. 011

  6. 110

  7. 101

  8. 111

Ebből a csoportból is lesz egy darab haszontalan képlet (111), de például a 3. a jellegzetes és sokat tanított A-triola (010)...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - A-triola

Pénzes-féle Gitáriskola - A-triola kottában

 

 

...a 7. pedig a V-triola (101):

Pénzes-féle Gitáriskola - V-triola

Pénzes-féle Gitáriskola - V-triola kottában

 

 

Mivel a 8 lehetséges variációból 7 használható fel, ezért a meglévő 21-hez 7 x 7 = 49 gyakorlási lehetőség csatlakozott. Ez az alapskálák esetében összesen 70 skálavariációt jelent.

 

A következő lépés? Természetesen 4 hang.

 

Quattro

Pengessünk minden egyes skálahangot négyszer (0000), tehát ez a gyakorlat voltaképpen egyszerű tizenhatodokra épül.

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Quattro skálavariáció ciklusa

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Quattro - teljes

 

 

Variáljuk tovább matematikailag (quattro-sorozat). A számolgatást megkönnyítendő a ciklus mellé rögtön odaillesztettem az inverz párját is. Egyúttal a matematikában jártasak észrevehetik, hogy innentől voltaképpen már a 2 hatványaival, azaz kettes számrendszerben számolok. Ez később jelentős mértékben megkönnyíti a variációk kiszámítását, mert hisz nem kell tennem mást, mint kiszámítani a decimális számokat binárisan is, sőt, az így kapott sorozatok (quattro-sorozattól felfelé) egymással matematikailag kompatibilisek maradnak. Az oszlopszámok és bináris számok tehát egyezni fognak, de mivel nekem 1. sorszámmal kellett illetnem a 00..., mint mindenkori kiindulópontot, ezért a belső összefüggést a következő ábra alapján fedezhetjük fel:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Váltás a számrendszerek között

  1. 0000 – 1111

  2. 0001 – 1110

  3. 0010 – 1101

  4. 0011 – 1100

  5. 0100 – 1011

  6. 0101 – 1010

  7. 0110 – 1001

  8. 0111 – 1000

...mert 24 = 16. Láthatjuk, hogy 8 sorban 2 oszlopunk keletkezett 16 lehetséges skálavariációval. Ebből az 1-inverz variáció (1111) esik ki, a többi felhasználható. A számsorok természetesen könnyen átalakíthatók ciklusokká, utána pedig lejátszható skálavariációkká. Íme például néhány darab a quattro-sorozatból. A számok a fenti matematikai megközelítés sorszámai. Hasonlítsuk őket össze!

 

5.

Pénzes-féle Gitáriskola - 0100

 

 

5-inverz

Pénzes-féle Gitáriskola - 1011

 

7.

Pénzes-féle Gitáriskola - 0110

 

7-inverz

Pénzes-féle Gitáriskola - 1001

 

 

Most vegyünk egymás után 5 hangot 2 hangmagasságban (kvintola-sorozat)!

A képlet: 25 = 32.

  1. 00000 – 11111

  2. 00001 – 11110

  3. 00010 – 11101

  4. 00011 – 11100

  5. 00100 – 11011

  6. 00101 – 11010

  7. 00110 – 11001

  8. 00111 – 11000

  9. 01000 – 10111

  10. 01001 – 10110

  11. 01010 – 10101

  12. 01011 – 10100

  13. 01100 – 10011

  14. 01101 – 10010

  15. 01110 – 10001

  16. 01111 – 10000

Láthatjuk, hogy 16 sorban 2 oszlopunk keletkezett 32 lehetséges skálavariációval. Ebből 1 haszontalan (11111), a többi használható vagy kezdő vagy haladó szinten. Ez csak a 7 alapskálára már 7 x 31 = 217 gyakorlási lehetőség. Hallgassuk meg például az alap 00000 skálavariációt:

 

 

Újabb lépésként most ne 1, hanem 2 triolát vegyünk és tegyük egymás mellé (szextola-sorozat)!

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Igen tudom, hogy nehéz, de legalább próbáljuk meg...

Igen tudom, hogy nehéz, de legalább próbáljuk meg...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Szextola - ciklus

Pénzes-féle Gitáriskola - Szextola - kotta

 

 

...és variáljuk ezt a 6 hangot 2 hangmagasságban! A variációs összmennyiség ekkor 26 = 64.

  1. 000000 – 111111

  2. 000001 – 111110

  3. 000010 – 111101

  4. 000011 – 111100

  5. 000100 – 111011

  6. 000101 – 111010

  7. 000110 – 111001

  8. 000111 – 111000

  9. 001000 – 110111

  10. 001001 – 110110

  11. 001010 – 110101

  12. 001011 – 110100

  13. 001100 – 110011

  14. 001101 – 110010

  15. 001110 – 110001

  16. 001111 – 110000

  17. 010000 – 101111

  18. 010001 – 101110

  19. 010010 – 101101

  20. 010011 – 101100

  21. 010100 – 101011

  22. 010101 – 101010

  23. 010110 – 101001

  24. 010111 – 101000

  25. 011000 – 100111

  26. 011001 – 100110

  27. 011010 – 100101

  28. 011011 – 100100

  29. 011100 – 100011

  30. 011101 – 100010

  31. 011110 – 100001

  32. 011111 – 100000

Láthatjuk, hogy 32 sorban 2 oszlopunk keletkezett 64 lehetséges skálavariációval. Ebből 1 haszontalan (111111), a többi használható vagy kezdő vagy haladó szinten. Ez 7 alapskálára számolva 7 x 63 = 441 gyakorlási lehetőség.

 

Most fordítsuk meg vizsgálataink irányát!

Eddig azt tanulmányoztuk, hogy miként lehet hatással a matematika a szólótechnikára, most nézzük meg az ellenkezőjét: a szólótechnika hatását a matematikára! Például Malmsteen mesternek van egy jellemző szólótechnikai képlete (ciklusa), amit viszonylag gyakran használ fel szólóiban:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - 0120

0120

 

A képlet elhangzik például a Marching Out - I am a Viking főriffjében (4. ütem):

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Malmsteen - Marching Out - I am a Viking

 

Ez hasonló a fenti quattro-sorozathoz, de már 3 hangmagasságban variálódik. Ez elméletileg 34 = 81 skálavariációt sejtet, ám az eredmény becsapós, mert ebbe belefoglaltatik az egész quattro-sorozat (0 és 1), sőt néhány további ki is hullik, például 1111 és 2222. De a skálavariáció képletét nem nehéz továbbgondolni. Vessünk egy gyors, nem sorrendszerű pillantást a ciklus környezetére:

Mindannyian jól hangzó és a gyakorlás során hasznos (haladó szintű) zenei képletek.

 

Végezzünk egy gyors összeadást a modellezett (használható) képletek mennyiségéről!

Észrevettük-e, hogy ha a fenti részösszegekből nem vonjuk le az egyetlen nem használható skálavariációt, amelyek egyébiránt mindig így néznek ki:

...akkor a kettő hatványait kapjuk, mert...

Ebben a pillanatban már meg tudjuk állapítani azt is, hogy a 2 hangmagasságon variált (7 hangú) szeptola összes lehetséges variációja 27 = 128, illetve 2 egymás mellé tett quattro, (tehát 8 hangú) ciklusé  28 = 256!